contoh soal dan jawaban fungsi naik dan turun dengan konsep turunan

Contoh Soal 1 :

Tentukan gradien garis singgung pada kurva

a. f(x) = x² di titik dengan absis 2

b. f(x) = x³ di titik dengan absis 3

Penyelesaian :

a. 

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.

b.

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x³ di titik dengan absis x = 3 adalah m = 27.

Contoh Soal 2 :

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x³ + x² , dengan f(x) dinyatakan dalam meter.

a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3.

b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?

Pembahasan :

a. 

Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b. 

Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

Contoh Soal 3 :

Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f (x) = x² – x , tentukan f'(5).

Jawaban :

Contoh Soal 4 :

Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x² + x 

b. f(x) = cos x

Penyelesaian :

a. f(x) = x² + x

b. f(x) = cos x

Contoh Soal 5 :

Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.

Jawaban :

Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =

L = p × l = 3l . l = 3l².

Jadi, L = f (l) = 3l².

Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).

Contoh Soal 6 :

Misalkan f(x) = x³ , tentukanlah :

a. df / dx

b. nilai x sehingga df / dx = 12

Penyelesaian :

a.

b. df / dx = 3x² maka 3x² = 12 ↔ x = ± 2.

Jadi, nilai x yang memenuhi df / dx = 12 adalah x = ± 2.

Contoh Soal 7 :

Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = f(t) = t² – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.

Penyelesaian :

Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah :

Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16, diperoleh :

df / dx = 2t – 3 ↔ 15 = 2t – 3

↔ 2t = 18 ↔ t = 9

Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.

Contoh Soal 8 :

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x⁴ 

b. f(x) = –8x³

Jawaban :

a. f(x) = x⁴ maka f '(x) = 4x^4–1 = 4x³

b. f(x) = –8x³ maka f ' (x) = –8(3)x^3–1= –24x²

Contoh Soal 9 :

Tentukan df/dx untuk fungsi-fungsi berikut.

a. f (x) = ½ x²

b. g (x) = 

Jawaban :

Contoh Soal 10 :

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

a. f(x) = 

b. f(x) = 

c. f(x) = 

Jawaban :

Contoh soal 1 :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x ³ – 3x²+ 1 !

Penyelesaian :
Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 adalah f’(x) = 6x² – 6x
Nilai stasioner fungsi f(x) diperoleh jika f’(x) = 0
6x² – 6x = 0
6x (x - 6) = 0
x = 0 atau x = 6
Nilai-nilai stasionernya adalah
Untuk x = 0 diperoleh f(0) = 2(0)³ – 3(0)² + 1 = 1
Untuk x = 4 diperoleh f(6) = 2(6)³ – 3(6)² + 1 = 325
Jadi, fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 mencapai nilai maksimum pada f(4) = 325 dan nilai minimum f(0) = 1
2. Dimanakah fungsi f(x) = 2x³ – x² + x – 1 akan cekung ke atas dan cekung ke bawah ?
Penyelesaian :
Turunan pertama dan kedua fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 berturut-turut adalah f’(x) = 6x² – 12x + 1 dan f’’(x) = 12x – 12
Dengan menggunakan uji turunan kedua bagi kecekungan fungsi, dapat ditentukan:
f’’(x) > 0 berarti
=12x – 12 > 0
=12x > 12
= x > 1
f’’(x) < 0 berarti
=12x – 12 < 0
=12x < 12
Jadi, grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 cekung ke atas dalam daerah {x │ x > 1} dan cekung ke bawah dalam daerah {x │ x < 1}
Contoh soal 3:
1. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x² – 4x + 2 pada selang (-∞,∞)
Pemakaian uji turunan pertama
f’(x) = 2x – 4
f’(x) = 2x – 4 = 0
x = 2
f’(x) = 2x – 4 > 0
x > 2, f naik pada [2, ∞ )
f’(x) = 2x – 4 < 0
x < 2, f turun pada (- ∞, 2 ]
f (2) = (2)² – 4(2) + 2 = -2 (nilai minimum lokal)
2. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x³ – 6x² + 1 pada selang (-∞,∞)
Pemakaian uji turunan kedua
f’(x) = 3x² – 12x < 0
= 3x (x – 4) < 0
berarti x = 0 dan x = 4
f’’(x) = 6x – 12
f’’(0) = 6(0) – 12 = -12 (nilai minimum lokal)
f’’(4) = 6 (4) – 12 = 12 (nilai maksimum lokal)
Contoh 4:
Andaikan C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu. Fungsi C disebut fungsi biaya. Jika banyaknya barang yang dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2 , biaya tambahan adalah ∆C = C(x2)-C(x1), dan laju perubahan rata-rata biaya adalah
∆C = C(x2)-C(x1) = C(∆x1+x) – C(x1)
∆x x2 – x1 ∆x
Limit besaran ini ketika, ∆x → 0 yakni laju perubahan sesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan, oleh para ekonom disebut biaya marjinal:
biaya marjinal = lim ∆C = d C
∆x → 0 ∆x dx
Karena x biasanya hanya berupa bilangan bulat, tidak ada maknanya untuk membiarkan ∆x mendekati 0, tetapi kita selalu dapat menggantikan C(x) dengan suatu fungsi penghampir mulus.
Dengan mengambil ∆x = 1 dan n besar (sehingga ∆x kecil dibandingkan terhadap n) kita mempunyai

C’(n) = C(n + 1) – C(n)

Jadi, biaya marjinal dari memproduksi n satuan kira-kira sama dengan biaya memproduksi satu satuan lebih [satuan ke-(n + 1)]
Contoh soal 5:
Buktikan bahwa lim 5x + 3 = 5
x → ∞ 3x– 1 3
Penyelesaian :
lim 5x + 3 = lim 5+ 3/x = 5 + 0 = 5
x → ∞ 3x – 1 x → ∞ 3 - 1/x 3 – 0 3
Contoh soal 6:
Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema nilai rata-rata untuk f(x) = 1 – x² pada [-6, 8] !
Penyelesaian :
f’(x) = – 2x

f (-6) – f (8) = -35 – (– 63) = -98 = 7
(-6) – (8) –14 -14
-2c = 7
c = -7
2

f(x)= 2x² – x⁴ pada (-2,2)

Jawaban :

Titik-titik kritis f

7.titik ujung : tidak ada

1. titik stasioner :f(x) = 2x² – x⁴ t

f’(x) = 4x – 4³

= 4x ( 1 – x )( 1 + x)

Jikaf’(x)= 0 maka 4x ( 1 – x )( 1 + x)

x = 0, x = 1 atau x = -1

Titik-titik stasioner f: (0,0), (1,1), dan titik singular : tidak ada karena f(x) selalu ada untuk (-2,2)

Jadi nilai maksimum f adalah 1 dan nilai minmum f adalah 0.

8. h(x) = 4x^1/3 – x^4/3

Jawaban : f’(x) = 4/3 x^-2/3 – 4/3 x^1/3

= 4/3 x^-2/3 (1 -x)

f’(x) > 0 untuk x ≤ 0

Jadi fungsi f naik pada selang [ - _∞ ,1)

f’(x) < 0 untuk x ≥ 1. Jadi fungsi f turun pada selang [1,∞)

_{f”(x) = – 4/3x}^-5/3 _{(2 + x)}

_{f”(x) > 0 untuk -2 < x < 0, sehingga fungsi f cekung ke atas pada selang (-2,0)}

_{f”(x) < 0 untuk x – 2 atau x > 0, sehingga fungsi f cekung kebawah pada}

selang

( -∞,-2) dan pada selang (0, ₊∞)

9. Untuk f(x) = x² – 7x + 3, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal.

Jawaban :

f(x) = x² – 7x + 3

f’(x) = 2x – 7

f”(x) = 2

untuk f’(x) = 2x -7

= 2 (x – 3,5)

x = 3,5 dan x = 0

Maka : hp = {0,3,5}

Jadi f’(3,5) = 0 dan f”(3,5) > 0

Karena itu menurut uji turunan kedua f”(3,5) adalah maksimum lokal

10. Cari nilai maksimal dan minimum lokal f(x) = x² – 2x pada (-∞,∞)

Jawaban :

f(x) = x² – 2x

f(x) = 2x – 2

= 2 (x – 1)

Maka : {0,1}

f(0) = 0

f(1) = -1

Jadi f(0) = 0 adalah nilai maksimum lokal dan f(-1) adalah nilai minimum lokal

Contoh Soal 1 :

Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.

1. f(x) = –x² pada selang (0,1)

2. f(x) = 10x – x² pada selang (0,10)

Pembahasan :

1. f(x) = – x² maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x² pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun.

2. f(x) = 10x – x² maka f '(x) = 10 – 2x.

Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.

f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5. 

Dengan demikian, f(x) = 10x – x² pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Contoh Soal 2 :

Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang berikut.

a. 

b. 

Penyelesaian :

f(x) = cos x maka f '(x) = – sin x.

a. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p adalah anggota  sehingga 0 < p < .

f '(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi turun.

b. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p anggota  sehingga π < p <  π.

f '(p) = –sin p > 0 untuk π < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi naik.

Contoh Soal 3 :

Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.

Jawaban :

f(x) = cos ( x + π), maka f '(x) = –sin (x + π).

• Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka f '(x) > 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: 

–sin (x + π) = 0

–sin (x + π) = sin 0 ↔ x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat

x = –π ± k 2π

Oleh karena x ↔ (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah x₁ = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut.

Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan –sin (x + π) > 0 adalah 0 < x < π.

Gambar 5. f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π.

Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 5.

• Fungsi f(x) = cos(x+ π) merupakan fungsi turun, jika f '(x) < 0 sehingga f '(x) = –sin (x + π) < 0.

Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan –sin(x + π) < 0 adalah π < x < 2.

Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval π < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.

Contoh Soal 4 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x² – x, untuk:

a. D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2},

b. D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.

Jawaban :

f(x) = 2x² – x ↔ f '(x) = 4x – 1

4x – 1 = 0 ↔ x = ¼.

a. x = 1/4 anggota D_f = { x | 1 ≤ x ≤ 2} ....(1)

f(–1) = 2 (–1)² – 1 = 1 ....(2)

f(2) = 2 (2)² – 2 = 6 ....(3)

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum dan f (¼) = - 1/8 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² – x

dengan :

D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.

b. x = .... bukan anggota D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}

f(–6) = 2 (–6)² – (–6) = 78

f(–4) = 2(–4)² – (–4) = 36

Jadi, fungsi f(x) = 2x² – x dengan D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.

Contoh Soal 5 :

Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000π cm³ . Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.

Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm³ .

Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal.

Penyelesaian :

Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r).

V (r) = luas alas × tinggi = π r² × t = 8.000π

sehingga,

t =  ....(1)

L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2)

Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh :

L (r)= π r² - 2πr  = π r² - 2πrt

Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga :

....(3)

Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh :

Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm.

Contoh Soal 6 :

Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan :

Q(v) = - 1/65 v² + 2v + 2.500 liter

Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.

Pembahasan :

Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga :

Q’(x) = - 2/65 v + 2 = 0 ↔ - 2/65 v = 2 ↔ v = 65

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah :

Q(65) = -1/65 (65)² + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah :

4 × 2.565 = 10.260 liter.

Contoh 7:

Tentukan turunan dari   f(x) = 4x – 3

Jawab

f(x) = 4x – 3

f( x + h) = 4(x + h) – 3

             = 4x + 4h -3

Sehingga: f’(x) = 

                         =                            

                         =        

                         =     

                         = 

                         =   4

Contoh 8;

Tentukan turunan dari  f(x) = 3x²

Jawab :

           f(x) = 3x²

           f(x + h) = 3 (x + h)²

                        = 3 (x² + 2xh + h²)

                        = 3x² + 6xh + 3h²

Sehingga :  f’(x) =

                           = 

                           = 

                           =  h

                           =  6x+ 3.0

                           =  6x

Latihan

Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:

1. f(x) = 6 – 2x
2. f(x) = 5x² +2x
3. 
4. 
5. f(x) = 2x³

Soal ke-9

Jika f(x) = 3x² + 4 maka nilai f¹(x) yang mungkin adalah ….

Pembahasan

f(x)      = 3x² + 4

f¹(x)     = 3.2x

            = 6x

Soal ke10

Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)² + 12x² – 8x + 4 adalah …

Pembahasan

f(x)      = 2x³ + 12x² – 8x + 4

f¹(x)     = 2.3x² + 12.2x – 8

            = 6x² + 24x -8