contoh soal dan jawaban fungsi naik dan
turun dengan konsep turunan
Contoh
Soal 1 :
Tentukan
gradien garis singgung pada kurva
a.
f(x) = x2 di titik dengan absis 2
b.
f(x) = x3 di titik dengan absis 3
Penyelesaian
:
a.
Jadi,
gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik dengan
absis x = 2 adalah m = 4.
b.
Jadi,
gradien garis singgung kurva f(x) = x3 di titik dengan
absis x = 3 adalah m = 27.
Contoh
Soal 2 :
Sebuah
benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik
memenuhi persamaan f (x) = 6x3 + x2 ,
dengan f(x) dinyatakan dalam meter.
a.
Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3.
b.
Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?
Pembahasan
:
a.
Jadi,
kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.
b.
Jadi,
kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.
Contoh
Soal 3 :
Gunakan
konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f (x) = x2 –
x , tentukan f'(5).
Jawaban
:
Contoh
Soal 4 :
Tentukanlah
f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.
a.
f(x) = x2 + x
b.
f(x) = cos x
Penyelesaian
:
a.
f(x) = x2 + x
b.
f(x) = cos x
Contoh Soal 5 :
Panjang
sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan
luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.
Jawaban
:
Misalkan,
lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =
L
= p × l = 3l . l = 3l2.
Jadi,
L = f (l) = 3l2.
Laju
perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).
Contoh
Soal 6 :
Misalkan
f(x) = x3 , tentukanlah :
a.
df / dx
b. nilai
x sehingga df / dx = 12
Penyelesaian
:
a.
b.
df / dx = 3x2 maka 3x2 = 12 ↔ x = ±
2.
Jadi,
nilai x yang memenuhi df / dx = 12 adalah x = ± 2.
Contoh
Soal 7 :
Sebuah
benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = f(t)
= t2 – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak
terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak
terhadap waktu adalah 15.
Penyelesaian
:
Laju
perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah :
Apabila
laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16, diperoleh :
df
/ dx = 2t – 3 ↔ 15
= 2t – 3
↔ 2t
= 18 ↔ t = 9
Jadi,
laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.
Contoh
Soal 8 :
Tentukanlah
turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a.
f(x) = x4
b.
f(x) = –8x3
Jawaban
:
a.
f(x) = x4 maka f '(x) = 4x4–1 = 4x3
b.
f(x) = –8x3 maka f ' (x) = –8(3)x3–1= –24x2
Contoh
Soal 9 :
Tentukan
df/dx untuk fungsi-fungsi berikut.
a. f
(x) = ½ x2
b.
g (x) = 
Jawaban
:
Contoh
Soal 10 :
Tentukan
turunan fungsi-fungsi berikut.
a.
f(x) = 
b. f(x)
= 
c.
f(x) = 
Jawaban
:
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x 3 – 3x2+ 1 !
Penyelesaian :
Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 adalah f’(x) = 6x2 – 6x
Nilai stasioner fungsi f(x) diperoleh jika f’(x) = 0
6x² – 6x = 0
6x (x - 6) = 0
x = 0 atau x = 6
Nilai-nilai stasionernya adalah
Untuk x = 0 diperoleh f(0) = 2(0)³ – 3(0)² + 1 = 1
Untuk x = 4 diperoleh f(6) = 2(6)³ – 3(6)² + 1 = 325
Jadi, fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 mencapai nilai maksimum pada f(4) = 325 dan nilai minimum f(0) = 1
2. Dimanakah fungsi f(x) = 2x³ – x² + x – 1 akan cekung ke atas dan cekung ke bawah ?
Penyelesaian :
Turunan pertama dan kedua fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 berturut-turut adalah f’(x) = 6x² – 12x + 1 dan f’’(x) = 12x – 12
Dengan menggunakan uji turunan kedua bagi kecekungan fungsi, dapat ditentukan:
f’’(x) > 0 berarti
=12x – 12 > 0
=12x > 12
= x > 1
f’’(x) < 0 berarti
=12x – 12 < 0
=12x < 12
Jadi, grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 cekung ke atas dalam daerah {x │ x > 1} dan cekung ke bawah dalam daerah {x │ x < 1}
Contoh soal 3:
1. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x² – 4x + 2 pada selang (-∞,∞)
Pemakaian uji turunan pertama
f’(x) = 2x – 4
f’(x) = 2x – 4 = 0
x = 2
f’(x) = 2x – 4 > 0
x > 2, f naik pada [2, ∞ )
f’(x) = 2x – 4 < 0
x < 2, f turun pada (- ∞, 2 ]
f (2) = (2)² – 4(2) + 2 = -2 (nilai minimum lokal)
2. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x³ – 6x² + 1 pada selang (-∞,∞)
Pemakaian uji turunan kedua
f’(x) = 3x2 – 12x < 0
= 3x (x – 4) < 0
berarti x = 0 dan x = 4
f’’(x) = 6x – 12
f’’(0) = 6(0) – 12 = -12 (nilai minimum lokal)
f’’(4) = 6 (4) – 12 = 12 (nilai maksimum lokal)
Contoh 4:
Andaikan C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu. Fungsi C disebut fungsi biaya. Jika banyaknya barang yang dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2 , biaya tambahan adalah ∆C = C(x2)-C(x1), dan laju perubahan rata-rata biaya adalah
∆C = C(x2)-C(x1) = C(∆x1+x) – C(x1)
∆x x2 – x1 ∆x
Limit besaran ini ketika, ∆x → 0 yakni laju perubahan sesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan, oleh para ekonom disebut biaya marjinal:
biaya marjinal = lim ∆C = d C
∆x → 0 ∆x dx
Karena x biasanya hanya berupa bilangan bulat, tidak ada maknanya untuk membiarkan ∆x mendekati 0, tetapi kita selalu dapat menggantikan C(x) dengan suatu fungsi penghampir mulus.
Dengan mengambil ∆x = 1 dan n besar (sehingga ∆x kecil dibandingkan terhadap n) kita mempunyai
C’(n) = C(n + 1) – C(n)
Jadi, biaya marjinal dari memproduksi n satuan kira-kira sama dengan biaya
memproduksi satu satuan lebih [satuan ke-(n + 1)]Contoh soal 5:
Buktikan bahwa lim 5x + 3 = 5
x → ∞ 3x– 1 3
Penyelesaian :
lim 5x + 3 = lim 5+ 3/x = 5 + 0 = 5
x → ∞ 3x – 1 x → ∞ 3 - 1/x 3 – 0 3
Contoh soal 6:
Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema nilai rata-rata untuk f(x) = 1 – x2 pada [-6, 8] !
Penyelesaian :
f’(x) = – 2x
f (-6) – f (8) = -35 – (– 63) = -98 = 7
(-6) – (8) –14 -14
-2c = 7
c = -7
2
f(x)= 2x2 – x4 pada (-2,2)
Jawaban :
Titik-titik kritis f
7.titik ujung : tidak ada
- titik stasioner :f(x) = 2x2 – x4 t
f’(x) = 4x – 43
= 4x ( 1 – x )( 1 + x)
Jikaf’(x)= 0 maka 4x ( 1 – x )( 1 + x)
x = 0, x = 1 atau x = -1
Titik-titik stasioner f: (0,0), (1,1), dan titik singular : tidak
ada karena f(x) selalu ada untuk (-2,2)
Jadi nilai maksimum f adalah 1 dan nilai minmum f adalah 0.
8. h(x) = 4x1/3 – x4/3
Jawaban : f’(x) = 4/3 x-2/3 – 4/3 x1/3
= 4/3 x-2/3 (1 -x)
f’(x) > 0 untuk x ≤ 0
Jadi fungsi f naik pada selang [ - ∞ ,1)
f’(x) < 0 untuk
x ≥ 1. Jadi fungsi f turun pada selang [1,∞)
f”(x) = – 4/3x-5/3 (2 + x)
f”(x) > 0 untuk -2 < x < 0,
sehingga fungsi f cekung ke atas pada selang (-2,0)
f”(x) < 0
untuk x – 2 atau x > 0, sehingga fungsi f cekung kebawah pada
selang
( -∞,-2) dan pada
selang (0, +∞)
9. Untuk
f(x) = x2 – 7x + 3, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali
ekstrim lokal.
Jawaban :
f(x) = x2
– 7x + 3
f’(x) = 2x
– 7
f”(x) = 2
untuk f’(x)
= 2x -7
= 2 (x –
3,5)
x = 3,5 dan
x = 0
Maka : hp =
{0,3,5}
Jadi
f’(3,5) = 0 dan f”(3,5) > 0
Karena itu
menurut uji turunan kedua f”(3,5) adalah maksimum lokal
10. Cari
nilai maksimal dan minimum lokal f(x) = x2 – 2x pada (-∞,∞)
Jawaban :
f(x) = x2
– 2x
f(x) = 2x –
2
= 2 (x – 1)
Maka :
{0,1}
f(0) = 0
f(1) = -1
Jadi f(0) =
0 adalah nilai maksimum lokal dan f(-1) adalah nilai minimum lokal
Contoh
Soal 1 :
Periksa
naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.
1.
f(x) = –x2 pada selang (0,1)
2.
f(x) = 10x – x2 pada
selang (0,10)
Pembahasan
:
1.
f(x) = – x2 maka f '(x) = –2x.
Misalkan,
p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.
f
'(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada
selang (0, 1) merupakan fungsi turun.
2.
f(x) = 10x – x2 maka f '(x) = 10 – 2x.
Misalkan,
p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.
f
'(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p >
5.
Dengan
demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10) merupakan
fungsi naik dan fungsi turun.
Contoh
Soal 2 :
Periksa
naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang berikut.
a. 
b. 
Penyelesaian
:
f(x)
= cos x maka f '(x) = – sin x.
a. f(x) = cos x pada selang
Misalkan,
p adalah anggota 
sehingga 0 < p < 
.
sehingga 0 < p < .
f
'(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p < 
sehingga f(x) = cos x pada
selang 
merupakan fungsi turun.
sehingga f(x) = cos x pada
selang merupakan fungsi turun.
b.
f(x) = cos x pada selang 
Misalkan,
p anggota 
sehingga π < p < π.
sehingga π < p < π.
f
'(p) = –sin p > 0 untuk Ï€ < p < 
sehingga f(x) = cos x pada
selang merupakan fungsi naik.
sehingga f(x) = cos x pada
selang merupakan fungsi naik.
Contoh
Soal 3 :
Tentukan
pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi
naik atau fungsi turun.
Jawaban
:
f(x)
= cos ( x + Ï€), maka f '(x) = –sin (x + Ï€).
•
Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka f '(x) > 0
sehingga –sin (x + Ï€) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan
diagram tanda melalui tahapan berikut:
–sin
(x + π) = 0
–sin
(x + Ï€) = sin 0 ↔ x + Ï€ = 0 ± k
2Ï€, k bilangan bulat
x
= –Ï€ ± k 2Ï€
Oleh
karena x ↔ (0, 2Ï€) maka
nilai x yang memenuhi adalah x1 = π sehingga diperoleh
diagram tanda berikut.
Dari
diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan –sin (x + Ï€) > 0 adalah 0
< x < π.
 |
|
Gambar 5. f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0
< x < π.
|
Jadi,
f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π, seperti
diperlihatkan pada Gambar 5.
•
Fungsi f(x) = cos(x+ π) merupakan fungsi turun, jika f '(x) < 0 sehingga f
'(x) = –sin (x + Ï€) < 0.
Dengan
menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan –sin(x + Ï€) < 0 adalah
Ï€ < x < 2.
Jadi,
f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval π < x < 2π,
seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
Contoh
Soal 4 :
Tentukan
nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x2 – x, untuk:
a. Df = { x | –1 ≤ x ≤ 2},
b. Df = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.
Jawaban
:
f(x)
= 2x2 – x ↔ f
'(x) = 4x – 1
4x
– 1 = 0 ↔ x
= ¼.
a.
x = 1/4 anggota Df =
{ x | 1 ≤ x ≤ 2} ....(1)
f(–1)
= 2 (–1)2 – 1 = 1 ....(2)
f(2)
= 2 (2)2 – 2 = 6 ....(3)
Dari
(1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum dan f (¼) = - 1/8
merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 – x
dengan
:
Df =
{ x | –1 ≤ x ≤ 2}.
b.
x = .... bukan anggota Df =
{ x | –6 ≤ x ≤ –4}
f(–6)
= 2 (–6)2 – (–6) = 78
f(–4)
= 2(–4)2 – (–4) = 36
Jadi,
fungsi f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | –6
≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.
Contoh
Soal 5 :
Selembar
aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000Ï€ cm3 .
Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan
seminimal mungkin.
Diketahui:
Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000Ï€ cm3 .
Ditanyakan:
Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal.
Penyelesaian
:
Misalkan,
volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan
luas permukaan silinder = L (r).
V
(r) = luas alas × tinggi = Ï€ r2 × t = 8.000Ï€
sehingga,
t
= 
....(1)
....(1)
L
(r) = luas alas + luas selubung = Ï€ r² + 2Ï€rt ....(2)
Substitusikan
(1) ke (2) sehingga diperoleh :
L
(r)= Ï€ r² - 2Ï€r 
= Ï€ r² - 2Ï€rt
= Ï€ r² - 2Ï€rt
Nilai
stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga :
....(3)
Substitusikan
(3) ke (1) sehingga diperoleh :
Jadi,
tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm.
Contoh
Soal 6 :
Jumlah
bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang
bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan :
Q(v)
= - 1/65 v2 + 2v + 2.500 liter
Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.
Pembahasan :
Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.
Pembahasan :
Nilai
stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga :
Q’(x)
= - 2/65 v + 2 = 0 ↔ - 2/65 v = 2 ↔ v = 65
Jumlah
maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah :
Q(65)
= -1/65 (65)2 + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter
Jumlah
maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah :
4
× 2.565 = 10.260 liter.
Contoh 7:
Tentukan turunan
dari f(x) = 4x – 3
Jawab
f(x) = 4x – 3
f( x + h) = 4(x + h) – 3
= 4x + 4h -3
Sehingga: f’(x)
= 
= 
= 
= 
= 
= 4
Contoh 8;
Tentukan turunan
dari f(x) = 3x2
Jawab :
f(x) = 3x2
f(x + h) = 3 (x + h)2
= 3 (x2 +
2xh + h2)
= 3x2 + 6xh
+ 3h2
Sehingga : f’(x) = 
= 
= 
= 
h
h
= 6x+ 3.0
= 6x
Latihan
Dengan definisi di
atas tentukan nilai turunan berikut:
- f(x) = 6 – 2x
- f(x) = 5x2 +2x
- f(x) = 2x3
Soal ke-9
Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x)
yang mungkin adalah ….
Pembahasan
f(x) =
3x2 + 4
f1(x) = 3.2x
= 6x
Soal ke10
Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2
+ 12x2 – 8x + 4 adalah …
Pembahasan
f(x) =
2x3 + 12x2 – 8x + 4
f1(x) = 2.3x2 + 12.2x – 8
= 6x2 + 24x -8
